3.1.1　方程的根与函数的零点

●三维目标

1．知识与技能

(1)结合二次函数的图象，理解零点的定义及方程的根与函数的零点的等价条件，学会判断函数零点的存在性及零点的个数，从而体会函数的零点与方程的根的联系；

(2)理解并会运用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

2．过程与方法

培养学生观察、思考、分析、猜想、验证的能力，并从中体验从特殊到一般思想及函数与方程思想．

3．情感、态度与价值观

从函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值．

●重点难点

重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．

难点：探究发现函数零点的存在性．

重难点的突破：以学生熟悉的二次函数图象和二次方程为平台，通过让学生观察方程和函数形式上的联系，引导学生得出三个重要的等价关系，体现了“化归”和“数形结合”的数学思想，为探索零点存在定理做好铺垫．

在此基础上，以学生熟悉的一次函数、二次函数为载体，运用数形结合的思想，借助多媒体，以动态的形式演示函数值在零点附近的变化规律，通过学生的观察、思考、交流、探索归纳出连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内一定有零点的条件：f(a)·f(b)<0，并通过范例及变式训练对零点存在的判定条件加以训练，突出重点的同时化解难点．

【问题导思】

1．函数f(x)在[－5,2]上的图象如图所示，根据图象你能否得出方程f(x)＝0的根？

【提示】　由图可知f(x)＝0的根分别为－4，－2,1.

2．函数y＝f(x)的零点是点吗？为什么？

【提示】　不是．函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零．

3．函数y＝x²有零点吗？

【提示】　有．∵x＝0时y＝0.∴函数y＝x²有零点，是0.

(1)定义：对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．

【问题导思】

方程5x＋6＝0的根、函数y＝5x＋6的零点、函数y＝5x＋6的图象之间有何关系？

【提示】　方程5x＋6＝0的根为x＝－eq \f(6,5)，函数y＝5x＋6的零点也是x＝－eq \f(6,5)，函数y＝5x＋6的图象与x轴交点横坐标也是－eq \f(6,5).即，三者均相同．

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

【问题导思】

观察问题1中的函数图象，零点－4,2,1两侧附近的函数值的符号有何特征？

【提示】　在－4两侧附近函数值左负右正，在－2两侧附近函数值左正右负，在1两侧附近函数值左负右正．即：每个零点两侧附近的函数值均异号．

如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.

例1　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x²＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log₂(x＋3)；

(3)f(x)＝2^x－1－3；

(4)f(x)＝eq \f(x²＋4x－12,x－2).

【思路探究】　分别解方程f(x)＝0得函数的零点．

【自主解答】　(1)解方程f(x)＝x²＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，

所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程f(x)＝1－log₂(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.

(3)解方程f(x)＝2^x－1－3＝0，得x＝log₂6，所以函数的零点是log₂6.

(4)解方程f(x)＝eq \f(x²＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.

规律方法

求函数零点的两种方法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

变式训练

已知函数f(x)＝x²＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝log_n(mx＋1)的零点．

【解】　由题可知f(x)＝x²＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，则1和2是方程x²＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．

可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1,1×2＝n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－2,n＝2.))

所以函数y＝log_n(mx＋1)的解析式为y＝log₂(－2x＋1)，

要求其零点，则log₂(－2x＋1)＝0，解得x＝0.

所以函数y＝log₂(－2x＋1)的零点为0.

例2.(x)＝2^x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是(　　)

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))                D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))

【思路探究】　求解本题的关键是验证所给区间(a，b)是否满足f(a)·f(b)<0.

【自主解答】　∵f(x)＝2^x－eq \f(1,x)，且f(1)＝2－1＝1>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(2)－2<0，

∴f(1)·feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，∴f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内存在零点．

【答案】　B

规律方法

1．判定函数在某区间(a，b)上是否有零点，关键有两点：一是曲线是否是连续不断的；二是f(a)与f(b)是否异号．

2．当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲线或不满足f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．

3．判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．

(2)判：所得把函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．

变式训练

方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))^x＝xeq \f(1,2)有解x₀，则所在的区间是(　　)

A．(2,3)                                                                                           B．(1,2)

C．(0,1)                                                                                           D．(－1,0)

【解析】　令f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))^x－xeq \f(1,2).∵f(0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))⁰－0＝1>0，

f(1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))¹－1＝－eq \f(2,3)<0，∴f(0)·f(1)<0.

∴方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))^x＝xeq \f(1,2)的解x₀所在的区间为(0,1)．

【答案】　C

例3.函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．

【思路探究】　思路一 eq \x(令g（x）＝3－x，h（x）＝lnx)→eq \x(画出g（x），h（x）的图象)→eq \x(交点个数即为零点个数)

思路二 eq \x(零点存在性定理)→eq \x(验证f（x）的单调性)→eq \x(作出判断)

【自主解答】　法一　令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝3－x，

在同一平面直角坐标系内画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图象，

如图所示：由图可知函数y＝lnx，y＝－x＋3的图象只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．

法二　因为f(3)＝ln3>0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq \f(2,e)<0，

所以f(3)·f(2)<0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．

又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．

规律方法

判断函数零点个数的常用方法

(1)解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数．

(2)直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数．

(3)化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；

(4)若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在性定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域内单调．

变式训练二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是 (　　)

A．1　　　B．2C．0　　　D．无法确定

【解析】　∵Δ＝b²－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax²＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点．

【答案】　B

命题角度2　根据零点情况求参数范围

例4 f(x)＝2^x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，＋∞)                             B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞)                                   D．(－1，＋∞)

考点　函数零点存在性定理

题点　函数零点有关的参数取值范围

答案　D

解析　由题意可得a＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))^x(x＞0)．

令g(x)＝x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))^x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．

反思与感悟　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．

变式训练　若函数f(x)＝x²＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，1－eq \r(2)]∪[1＋eq \r(2)，＋∞)

B．(－∞，1－eq \r(2))∪(1＋eq \r(2)，＋∞)

C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2)))

D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2)))

一元二次方程根的分布问题

典例（12分)关于x的方程ax²－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时，

(1)方程有一根；(2)方程有一正一负根；

(3)两根都大于1；(4)一根大于1，一根小于1.

【思路点拨】 eq \x(题意)→eq \x(画草图)→eq \x(转换为数量关系)→eq \x(求解)

【规范解答】　令f(x)＝ax²－2(a＋1)x＋a－1，

(1)∵方程有一根，∴a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－eq \f(1,2)，符合题意；

当a≠0时，Δ＝4(a＋1)²－4a(a－1)＝0，∴a＝－eq \f(1,3).       2分

(2)因为方程有一正一负两根，所以由韦达定理两根之积eq \f(a－1,a)<0且Δ>0，

解得0<a<1.                                           4分

(3)方程两根都大于1，f(x)图象大致如图，

              (1)　　　　　　　　(2)

所以必须满足：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,Δ>0,\f(2（a＋1）,2a)>1,f（1）>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0,Δ>0,\f(2（a＋1）,2a)>1,f（1）<0.))解得a∈∅.

所以不存在实数a，使方程两根都大于1.                     8分

(4)因为方程有一根大于1，一根小于1. f(x)图象大致如图，

(3)　　　　　　　　(4)

10分

所以必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0,f（1）<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0,f（1）>0))解得a>0.                      12分

思维启迪

解决有关根的分布问题应注意以下几点：

(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．

(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．

(3)写出由题意得到的不等式．

(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意．

这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时要注意条件的完备性．

课堂小结

1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．

1．函数y＝4x－2的零点是(　　)

A．2　                                                                                             B．(－2,0)

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))                                                                                           D.eq \f(1,2)

【解析】　令y＝4x－2＝0得x＝eq \f(1,2)，故函数y＝4x－2的零点是eq \f(1,2).

【答案】　D

2．以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(　　)

A．y＝x－3                                                                                      B．y＝2^x

C．y＝x³                                                                                           D．y＝lgx

【解析】　画出A、B、C、D四个选项的函数图象可知，只有D选项中y＝lgx在区间(0,2)上有零点．

【答案】　D

3．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是(　　)

A．f(0)＝0

B．方程f(x)＝0有实根

C．函数f(x)的图象与x轴有交点

D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根

【解析】　函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点，且函数f(x)的零点即是方程f(x)＝0的根．故B、C、D都正确；A不正确，因为f(0)不一定为0.

【答案】　A

4．若函数f(x)＝x²＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

【解】　由题意知f(－3)＝0，即(－3)²－3－a＝0，a＝6.

∴f(x)＝x²＋x－6.解方程x²＋x－6＝0，得x＝－3或2.

∴函数f(x)其余的零点是2.

课后检测

一、选择题

1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则(　　)

A．方程f(x)＝0一定有实数解

B．方程f(x)＝0一定无实数解

C．方程f(x)＝0一定有两实根

D．方程f(x)＝0可能无实数解

【解析】　∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但未必函数y＝f(x)在(－1,3)上有实数解．

【答案】　D

2．函数f(x)＝(x－1)(x²＋3x－10)的零点个数是(　　)

A．1　　　　B．2C．3　　　　D．4

【解析】　∵f(x)＝(x－1)(x²＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，

∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.

【答案】　C

3．函数f(x)＝lnx＋2x－8的零点所在区间为(　　)

A．(1,2)                                                                                           B．(2,3)

C．(3,4)                                                                                           D．(4,5)

【解析】　∵f(4)＝ln4＋2×4－8＝ln4>0，f(3)＝ln3＋2×3－8<0，∴f(4)·f(3)<0.

又f(x)在(3,4)上连续，∴f(x)在区间(3,4)内有零点．

【答案】　C

4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

【解析】　根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x²－1，f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x²－1在(－2,2)内有两个零点，故A错，C正确．

【答案】　C

5．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)

A．一个                                                                                           B．两个

C．至少两个                                                                                    D．无法判断

【解析】　依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：

可知f(x)有两个零点．

【答案】　B

二、填空题

6．函数f(x)＝x²－2x＋a有两个不同零点，则实数a的范围是________．

【解析】　由题意可知，方程x²－2x＋a＝0有两个不同解，故Δ＝4－4a>0，即a<1.

【答案】　(－∞，1)

7．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx²－ax的零点是________．

【解析】　由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.

∴g(x)＝bx²－ax＝－2ax²－ax＝－ax(2x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－eq \f(1,2).

【答案】　0或－eq \f(1,2)

8．函数f(x)＝eq \f(x²－4,x－2)的零点是________．

【解析】　本题易认为函数的零点有两个，即由x²－4＝0求出x＝±2，事实上x＝2不在函数的定义域内．

【答案】　－2

三、解答题

9．方程x²－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x₁，x₂，且0<x₁<1<x₂<2，求实数k的取值范围．

【解】　因为方程x²－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x₁，x₂，且0<x₁<1<x₂<2，所以设f(x)＝x²－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图象如图．

据图象有f(0)＝1－3k>0，且f(1)＝－4k<0，且f(2)＝1－5k>0，所以0<k<eq \f(1,5).

所以实数k的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<k<\f(1,5))))).

10．判断函数f(x)＝log₂x－x＋2的零点的个数．

【解】　令f(x)＝0，即log₂x－x＋2＝0，

即log₂x＝x－2.

令y₁＝log₂x，y₂＝x－2.

画出两个函数的大致图象，如图所示，

有两个不同的交点．

所以函数f(x)＝log₂x－x＋2有两个零点．

11．若函数f(x)＝ax²－x－1仅有一个零点，求实数a的值．

【解】　(1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数只有一个零点．

(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax²－x－1＝0仅有一个实数根．故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－eq \f(1,4).

综上所述，当a＝0或a＝－eq \f(1,4)时，函数仅有一个零点.